Thema: Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung in der folgenden Form oder kann auf diese Form gebracht werden: $a \cdot x + b = 0$

a

darf dabei nicht 0 sein!

Die nächsten drei Gleichungen sind linear, denn sie haben die Form von oben oder können auf diese Form gebracht werden:

$3 \cdot x + 2 = 0$

$5 \cdot x - 6 = 29$

$2 \cdot (x - 1) = \frac{4}{2}$

Eine lineare Gleichung löst du, indem du sie, so sagt man, nach der Variablen auflöst. In diesem Fall ist die Variable x. Das bedeutet also, dass die Variable x alleine auf der einen Seite des Gleichheitszeichens der umgeformten Gleichung stehen soll. Am Ende soll die Gleichung so aussehen, dass x = .... dasteht. Die .... stehen für irgendetwas, das nach der Umformung auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht.

Vorgehensweise:

Gleichungen löst du, indem du auf beiden Seiten der Gleichung die selben Rechenschritte durchführst.
Addierst du z.B. auf der linken Seite die Zahl 5, musst du dies auch auf der rechten Seite der Gleichung machen.
Dabei führt man die Rechenschritte so durch, dass am Ende die Variable x auf einer Seite stehen bleibt und alles andere auf der anderen Seite.

Beispiel 1:

Löse die Gleichung: $4 \cdot x - 8 = 0$

Um diese Gleichung nach x aufzulösen, addierst du zunächst +8 auf beiden Seiten der Gleichung. Dadurch fällt die -8 links weg und rechts erhältst du 0 + 8 = 8. Um nach x aufzulösen musst Du die 4x noch durch 4 teilen. Dadurch erhältst du links 1x und rechts 8 : 4 = 2. Die Lösung der Gleichung lautet x = 2.

\begin{matrix} 4 \cdot x - 8 = 0 \\ 4 \cdot x - 8 + 8 = 0 + 8 \\ 4 \cdot x + 0 = 8 \\ 4 \cdot x = 8 \\ x = 2 \end{matrix}

Beispiel 2:

Löse die Gleichung: $2 \cdot (x - 1) = 8 + \frac{4}{2}$

Auf der linken Seite der Gleichung löst du zunächst die Klammer auf. Dazu nimmst du die 2 vor der Klammer und multiplizierst diese mit x. Dadurch erhältst du 2x. Außerdem nimmst du nochmal die 2 vor der Klammer und multiplizierst diese auch noch mit der -1 in der Klammer. Dies ergibt -2. Auf der rechten Seite musst du Punkt vor Strich beachten, daher führst du zunächst die Division $\frac{4}{2} = 2$ aus. Um nach x aufzulösen, musst du die -2 auf der linken Seite beseitigen. Dafür musst du +2 auf beiden Seiten rechnen. Du erhältst dadurch 2x = 12. Jetzt teilst du noch beide Seiten durch 2 und erhältst dadurch x = 6.

\begin{matrix} 2 \cdot (x - 1) = 8 + \frac{4}{2} \\ 2 \cdot x - 2 = 8 + 2 \\ 2 \cdot x - 2 = 10 \\ 2 \cdot x = 12 \\ x = 6 \end{matrix}

Wenn du auf die Schaltfläche "Weiter" klickst, dann kannst Du versuchen eine einfache Aufgabe zu diesem Thema selbst zu lösen.
Wundere Dich nicht, dass dort schon der Wert x für die richtige Lösung angegeben ist. Das ist dafür, dass du feststellen kannst, ob du richtig gerechnet hast. Wenn du das richtige Ergebnis heraus hast, klicke auf Lösung und vergleiche deinen Lösungsweg mit der Musterlösung.
Wenn du überhaupt nicht weißt, was du machen sollst oder nicht die richtige Lösung herausbekommen hast, kannst Du Dir nach und nach Hinweise geben lassen und dir zum Schluss die Musterlösung anzeigen lassen. Gehe mit den Hinweisen und der Musterlösung sorgfältig um. Klicke also erst Hinweis 1 an, wenn du gar nicht weißt wie es los gehen soll. Klicke erst dann Hinweis 2, wenn du nicht mehr weiter weißt usw.
Selbstbeschiss is' hier nicht angesagt.

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